Ünüvar werd op 13 juni 2003 geboren in Zaandam. De speler doorliep vanaf 2011 de jeugdopleiding van Ajax en maakte op 22 januari 2020 zijn debuut in het eerste elftal in de bekerwedstrijd Ajax – SV Spakenburg: 7-0. In dat duel wist hij direct een doelpunt te maken. Ünüvar speelde tot nog toe drie wedstrijden in de hoofdmacht van Ajax.
Zo kijken Ünüvar en Aertssen terug op het duel met SV Meppen (3-0): 'Prima eerste helft'
Zowel Naci Ünüvar als Olivier Aertssen kijkt met een positief gevoel terug op de eerste oefenoverwinning van het seizoen. SV Meppen werd met 3-0 verslagen. Ünüvar leverde met zijn hak nog een prachtige assist op de 3-0 van Sontje Hansen. "Het was een mooie aanval."
